Hệ thống bài tập viết phương trình dao động

Để làm được các bài tập viết phương trình dao động bạn cần phải xem cẩn thận những bài trước đó về con lắc lò xo, con lắc đơn, hệ thức độc lập hay năng lượng. Đó là kiến thức tối thiểu, dựa vào đó ta sẽ tìm cách viết phương trình theo ba bước dưới đấy.

Khi bạn đã xem cẩn thận và nhớ được thì chúng ta bắt đầu vào bài học ngày hôm nay

1. Cơ sở lý thuyết viết phương trình dao động

Giả sử một vật dao động điều hòa với phương trình x = Acos(ωt + φ), để viết được phương trình dao động ta cần phải tìm được các đại lượng

• Biên độ A, có đơn vị thường là cm
• Tần số góc ω, có đơn vị thường là rad/s ( đôi khi đơn vị là độ)
• Pha ban đầu φ, đơn vị của đại lượng vật lý này phụ thuộc vào đơn vị của tần số góc ω. Nếu ω có đơn vị rad/s thì φ là rad còn ω có đơn vị độ/s thì φ là rad còn độ/s.

Các bước để viết được phương trình

• Bước 1: Tìm tần số góc ω dựa theo hệ thức cơ bản $\omega = 2\pi f = \frac{{2\pi }}{T} = 2\pi .\frac{N}{t}$
• Bước 2: Tìm biên độ dựa vào hệ thức độc lập về thời gian
• Bước 3: Tìm pha ban đầu dựa vào gốc thời gian t = 0

2. Những bài tập viết phương trình thường gặp

Bài tập 1: Một con lắc lò xo có vật nặng m = 100 g, lò xo có độ cứng là k = 25 N. Khi vật đang ở vị trí cân bằng thì người ta kéo ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn 3 cm rồi thả nhẹ. Chọn gốc thời gian t = 0 là lúc thả, gốc tọa độ lúc vật đang ở vị trí cân bằng. Nếu bỏ qua ma sát, hãy viết phương trình dao động điều hòa.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài:

• khối lượng m = 100 g = 0,1 kg
• độ cứng lò xo k = 25 N
• x₀ = 3 cm

Tần số góc: $\omega = \sqrt {\frac{k}{m}} = \sqrt {\frac{{25}}{{0,1}}} = 5\pi \left( {\frac{{rad}}{s}} \right)$

Vì kéo vật ra đoạn 3 cm mà thả nhẹ: v₀ = 0 => $A = \sqrt {x_0^2 + {{\left( {\frac{{{v_0}}}{\omega }} \right)}^2}} = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\frac{0}{{5\pi }}} \right)}^2}} = 3\left( {cm} \right)$

Tại thời điểm t = 0 thì $\left\{ \begin{array}{l} {x_0} = 3\left( {cm} \right)\\ {v_0} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3 = 3\cos \varphi \\ 0 = – 3\sin \varphi \end{array} \right. \Rightarrow \varphi = 0$

Vậy phương trình dao động của con lắc lò xo là x = 3cos(5πt) cm

Bài tập 2: Một con lắc đơn gồm sợi dây có chiều dài ℓ = 1 m, đầu trên sợi dây gắn cố định còn đầu dưới treo vật nặng m = 100 g. Kích thích cho con lắc dao động với tần số f = 4 Hz, bỏ qua ma sát coi con lắc dao động điều hòa. Người ta thấy con lắc đơn này dao động trên quỹ đạo dài là 8 cm. Lấy g = 10 m/s² = π² m/s².

a) Nếu tại thời điểm ban đầu con lắc đi qua vị trí 2 cm theo chiều dương thì phương trình li độ góc của nó có biểu thức như thế nào?

b) Hỏi khi li độ là 1 cm thì thế năng trọng trường và thế năng đàn hồi bằng bao nhiêu? Tìm cơ năng của con lắc.

Hướng dẫn giải

Theo đề:

• sợi đây dài ℓ = 1 m
• khối lượng m = 100 g = 0,1 kg
• tần số f = 4 Hz
• Quỹ đạo L = 8 cm
• Gia tốc trọng trường g = 10 m/s² = π² m/s²

Tần số góc $\omega = \sqrt {\frac{g}{\ell }} = \sqrt {\frac{{{\pi ^2}}}{1}} = \pi \left( {\frac{{rad}}{s}} \right)$

Độ dài quỹ đạo ứng với 2 lần li độ cực đại 2S₀ = 8 cm => S₀ = 4 cm.

a) Chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua li độ 2 cm theo chiều dương nên

$t = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_0} = 2\left( {cm} \right)\\ {v_0} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2 = 4\cos \varphi \\ \sin \varphi < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \varphi = \pm \frac{\pi }{3}\\ \sin \varphi < 0 \end{array} \right. \Rightarrow \varphi = – \frac{\pi }{3}$

Phương trình li độ dài s = 4cos(πt – π/3) cm = 0,04cos(πt – π/3) m

Li độ góc $\alpha = \frac{s}{\ell }$

Vì ℓ = 1 m => α = 0,04cos(πt – π/3) rad.

b) khi s = 1 cm = 0,01 m

• Thế năng đàn hồi: ${{\rm{W}}_t} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{s^2} = \frac{1}{2}.0,1.{\pi ^2}.0,{01^2} = {5.10^{ – 5}}\left( J \right)$
• Cơ năng ${{\rm{W}}_t} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}S_0^2 = \frac{1}{2}.0,1.{\pi ^2}.0,{04^2} = 7,{9.10^{ – 5}}\left( J \right)$
• Động năng: W_đ = W – W_t = 7,9.10^-5 – 5.10^-5 = 2.10^-5 (J)

Bài tập 3: Một con lắc dao động điều hòa với phương trình li độ góc là α = 0,02cos(πt + π/4) rad. Biết sợi dây dài 1 m, vật nặng m = 200 g; gia tốc trọng trường g = 10 m/s² = π² m/s².

a) lúc vật có li độ s = 1 cm thì vận tốc vật bằng bao nhiêu?

b) viết biểu thức thế năng trọng trường? động năng vào thời điểm t?

c) tìm những vị trí mà tại đó thế năng bằng 6 lần động năng? Vận tốc tại vị trí đó?

Hướng dẫn giải

Theo đề bài:

• Phương trình li độ góc α = 0,02cos(πt + π/4) rad
• chiều dài sợi đây ℓ = 1 m
• Khối lượng m = 200 g = 0,2 kg
• gia tốc trọng trường g = 10 m/s² = π² m/s²

ta biết s = α.ℓ = 0,02cos(πt + π/4) (m) = 2cos(πt + π/4) (cm)

a) khi s = 1 cm thì vận tốc của vật là $v = \pm \omega \sqrt {s_0^2 – {s^2}} = \pm \pi \sqrt {{2^2} – 1} = \pm 3\pi \left( {cm/s} \right)$

b) biểu thức năng lượng

• thế năng trọng trường ${{\rm{W}}_t} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{s^2} = \frac{1}{2}.0,2.{\pi ^2}.0,{02^2}.{\cos ^2}\left( {\pi t + \frac{\pi }{4}} \right) = {4.10^{ – 4}}.{\cos ^2}\left( {\pi t + \frac{\pi }{4}} \right)\left( J \right)$
• động năng ${{\rm{W}}_d} = \frac{1}{2}m{v^2} = \frac{1}{2}.0,2.{\pi ^2}.0,{02^2}.{\sin ^2}\left( {\pi t + \frac{\pi }{4}} \right) = {4.10^{ – 4}}.{\sin ^2}\left( {\pi t + \frac{\pi }{4}} \right)\left( J \right)$

c) Khi W_t = 6W_đ => ${\rm{W}} = {{\rm{W}}_d} + 6{W_d} = 7{W_d} \Rightarrow {W_d} = \frac{{\rm{W}}}{7} \Rightarrow v = \sqrt {\frac{2}{7}.\frac{{\rm{W}}}{m}} $

Thay số: $v = \sqrt {\frac{2}{7}.\frac{{{{4.10}^{ – 4}}}}{{0,2}}} = 0,0239\left( {\frac{m}{s}} \right)$

Trên đây là hệ thống những bài tập viết phương trình dao động cơ thương gặp với nhứng bài toán về con lắc đơn và con lắc lò xo. Hy vọng nó đã giúp ích được cho bạn trong quá trình học tập.