Những công thức dao động tắt dần quan trọng

Dao động tắt dần là một chủ đề khó của chương dao động cơ, tuy nhiên nếu bạn biết cách học, biết lựa chọn kiến thức trọng tâm thì việc tiếp cận trở lên đơn giản hơn nhiều. Bài viết này sẽ giúp bạn làm được điểm đó bằng cách giới thiệu những công thức hay gặp, đi kèm với công thức là bài tập có lời giải chi tiết.

1. Công thức dao động tắt dần

Dưới đây là những công thức dao động tắt dần bạn cần phải nhớ để giải bài tập:

• Vị trí cân bằng của vật cách gốc tọa độ O một khoảng ${x_I} = \frac{{\mu mg}}{k}$
• Độ giảm biên độ sau nửa chu kì được xác định theo công thức: $\Delta {A_{0,5}} = \frac{{2\mu mg}}{k} = 2{x_I}$
• Biên độ giảm sau một chu kì: $\Delta {A_{1T}} = \frac{{4\mu mg}}{k} = 4{x_I}$
• Kể từ khi bắt đầu dao động cho tới khi tắt hẳn thì vật thực hiện được N dao động: ${N = \frac{A}{{\Delta A}} = \frac{{kA}}{{4\mu mg}}}$
• Tổng thời gian vật thực hiện được tới khi dừng lại ${\Delta t = N.T = N.2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} }$

2. Bài tập dao động tắt dần

Bài tập 1: Một vật nặng m = 100 g gắn vào lò xo có độ cứng 100 N/m tạo thành con lắc lò xo. Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng O một đoạn 10 cm rồi thả nhẹ thì thấy vật dao động tắt dần. Biết hệ số ma sát là μ = 0,01; gia tốc trọng trường g = 10 m/s². Hỏi

a) Vị trí cân bằng mới cách O là bao nhiêu?

b) Độ giảm biên độ sau một nửa chu kì?

c) Độ giảm biên độ sau 1 chu kì?

d) Thời gian vật dao động từ khi kích thích cho tới khi dừng lại

e) Số dao động toàn phần vật thực hiện được

Hướng dẫn giải

Theo đề bài:

• Khối lượng m = 100 g = 0,1 kg
• Độ cứng k = 100 N/m
• Hệ số ma sát là μ = 0,01
• Gia tốc trọng trường g = 10 m/s²

Khi kéo nhẹ vật ra khỏi vị trí cân bằng mà thả nhẹ thì vị trí đó cũng chính là biên và có A = 10 cm = 0,1 m

a) Theo đề bài thì ${x_I} = \frac{{\mu mg}}{k} = \frac{{0,01.0,1.10}}{{100}} = {10^{ – 4}}\left( m \right) = 0,1\left( {mm} \right)$

Vị trí cân bằng mới cách vị trí cân bằng lúc đầu kích thích là 0,1 (mm)

b) Áp dụng công thức $\Delta {A_{0,5}} = \frac{{2\mu mg}}{k} = \frac{{2.0,01.0,1.10}}{{100}} = {2.10^{ – 4}}\left( m \right) = 0,2\left( {mm} \right)$

Độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kì là 2x_I = 0,2 (mm)

c) Ta thấy: $\Delta {A_{1T}} = \frac{{4\mu mg}}{k} = 4{x_I} = 4.0,1 = 0,4\left( {mm} \right)$

Vậy là sau một chu ki thì biên độ sẽ giảm đi 0,4 (mm)

d) Số dao động toàn phần vật thực hiện được $N = \frac{A}{{\Delta A}} = \frac{{kA}}{{4\mu mg}} = \frac{{100.0,1}}{{4.0,01.0,1.10}} = 250$

e) Theo cách giải trên thì vật sẽ thực hiện được 250 dao động sau đó dừng lại. Ứng với số dao động đó là thời gian thực hiện sẽ là $\Delta t = N.T = N.2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} = 250.2\pi \sqrt {\frac{{0,1}}{{100}}} = 49,67\left( s \right)$

Bài tập 2: Một con lắc lò xo dao động tắt dần. Biết hệ số ma sát μ = 0,1; m = 150 g; k = 250 N/m; g = 10 m/s² và A = 5 cm. Hỏi thế năng đàn hồi mà tại đó vận tốc đạt giá trị cực đại?

Hướng dẫn giải

Theo đề bài:

• Hệ số ma sát μ = 0,1
• Khối lượng vật nặng m = 150 g = 0,15 kg
• Độ cứng lò xo k = 250 N/m
• gia tốc trọng trường g = 10 m/s²
• Biên độ A = 5 cm = 0,05 m

Khi dao động tắt dần thì vị trí cân bằng mới cách gốc tọa độ O một khoảng: ${x_I} = \frac{{\mu mg}}{k} = \frac{{0,1.0,15.10}}{{250}} = {6.10^{ – 4}}\left( m \right) = 0,6\left( {mm} \right)$

Vị trí cách gốc tọa độ 0,6 mm là vị trí cân bằng mới mà tại đó tốc độ đạt giá trị cực đại, nên thế năng đàn hồi là:

${{\rm{W}}_t} = \frac{1}{2}k{x^2} = \frac{1}{2}.250.{\left( {{{6.10}^{ – 4}}} \right)^2} = 4,{5.10^{ – 5}}\left( J \right)$

Bài tập 3: Người ta gắn vật nặng m = 250 g vào lò xo có độ cứng k = 250 N/m. Kéo con lắc ra một đoạn 6 cm rồi thả nhẹ để cho nó dao động điều hòa. Biết rằng nơi thực hiện dao động có gia tốc trọng trường g = 10 m/s² = π² m/s². Hỏi

a) Tìm chu kì dao động của con lắc

b) Viết phương trình dao động

c) khi x  = 3 cm thì vật có thế năng? động năng và cơ năng bằng bao nhiêu?

d) Khi vật tới biên âm thì người ta là thay đổi mặt dao động để hệ số ma sát trượt là μ = 0,01. Hỏi thời gian vật thực hiện dao động tối đa là bao nhiêu

Hướng dẫn giải

Theo đề:

• Khối lượng m = 250 g = 0,25 kg
• Độ cứng k = 250 N/m
• Gia tốc trọng trường g = 10 m/s² = π² m/s²

a) Chu kì dao động là: $T = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt {\frac{{0,25}}{{250}}} \approx 0,2\left( s \right)$

b) Tần số góc là: $\omega = \frac{{2\pi }}{T} = \frac{{2\pi }}{{0,2}} = 10\pi \left( {\frac{{rad}}{s}} \right)$

Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng thì biên độ dao động sẽ là A = 6 cm.

Lấy gốc thời gian là lúc thả vật nên t = 0 => $\left\{ \begin{array}{l} x = A = 6\left( {cm} \right)\\ v = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \cos \varphi = 1\\ \sin \varphi = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \varphi = 0$

Vậy phương trình dao động của vật là x = 6cos(10πt) cm.

c) khi x = 3 cm thì ta sử dụng hệ thức độc lập $\left| v \right| = \omega \sqrt {{A^2} – {x^2}} = 10\pi .\sqrt {{6^2} – {3^2}} = 90\sqrt 3 \left( {\frac{{cm}}{s}} \right) = 90\sqrt 3 {.10^{ – 2}}\left( {\frac{m}{s}} \right)$

• Thể năng đàn hồi: ${{\rm{W}}_t} = \frac{1}{2}k{x^2} = \frac{1}{2}.250.0,{03^2} = 0,1125\left( J \right)$
• Động năng: ${{\rm{W}}_d} = \frac{1}{2}m{v^2} = \frac{1}{2}.0,15.{\left( {90\sqrt 3 {{.10}^{ – 2}}} \right)^2} = 0,18225\left( J \right)$
• Cơ năng con lắc lò xo là: W = W_t + W_đ = 0,1125 + 0,18225 = 0,29475 (J)

d) Vì có hệ số ma sát nên con lắc sẽ dao động tắt dần

• Số dao động vật thực hiện được $N = \frac{A}{{\Delta A}} = \frac{{kA}}{{4\mu mg}} = \frac{{250.0,06}}{{4.0,01.10}} = 37,5$
• Thời gian vật thực hiện số dao động: Δt = N.T = 37,5.0,2 = 7,5 (s)

Những bài tập kèm lời giải của chủ đề công thức dao động tắt dần đã khép lại chủ để bài viết này. Hy vọng bài viết đã giúp ích được cho bạn trong quá trình học tập vật lý 12. Mọi thắc mắc bạn hãy để lại phản hồi bên dưới bạn nhé.